Herramientas matemáticas para comprender las ciudades

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Grafo bi-partito con diferentes cantidades de flujo entre nodos. Fuente: Michael Batty. www.complexityinfo.com

Como escribíamos en el primer post de esta serie, comprender las redes y sus flujos, bien sean de tráfico, sociales, financieros, o energéticos, es necesario para comprender las ciudades, pero no es suficiente. Las redes están relacionadas unas con otras, en una superposición de niveles que dista mucho de ser estanca. Por ejemplo, la distribución de energía en la ciudad tiene relación con la actividad comercial, industrial, y ésta, a su vez, con la movilidad. Se trata de redes interrelacionadas. Para comprender la ciudad es necesario, por tanto, considerar relaciones entre redes, o grafos, distintos.

Grafos bipartitos y multi-partitos.

Un grafo cuyos nodos se pueden dividir en dos subconjuntos tales que un nodo de un subconjunto se relaciona sólo con los nodos del otro conjunto, es un grafo bi-partito.

Podemos pensar en los grafos bi-partitos como representaciones de dos conjuntos de elementos U y V, en los que los elementos de U se relacionan entre sí forzosamente a través de un elemento del otro conjunto V. Imaginemos, de nuevo, la red viaria, y tomemos como conjuntos las calles, por un lado, y las intersecciones o cruces, por otro. Es evidente, que para pasar de una calle a otra es necesario transitar por una intersección y que, a su vez, dos intersecciones sólo pueden relacionarse entre sí a través de una calle.

Una manera más cómoda de representar estas relaciones es desdoblando el grafo bi-partito, de manera que representemos uno de los conjuntos por duplicado, como se muestra en la figura siguiente.

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Representación de grafos bipartitos uniendo a) orígenes y b) destinos. Fuente: Michael Batty. www.complexityinfo.com

Como se aprecia en la representación, resulta más sencillo imaginarse la transición entre intersecciones a través de calles (izquierda) y entre calles a través de intersecciones (derecha).

A partir de estas representaciones, se pueden comprender las ciudades un poco mejor, calculando parámetros relevantes de la red viaria, como por ejemplo, la distancia, y la accesibilidad, definida a nivel de calles como el número de intersecciones a que una calle da acceso o, alternativamente, a nivel de intersecciones, como el número de calles a que una determinada intersección permite acceder. Evidentemente, cuanto mayor es la accesibilidad de una calle mayor es su importancia, en el sentido de que permite acceder a un mayor número de intersecciones y, a través de éstas, a otras calles. Y esta “importancia” o nivel de accesibilidad acaba influyendo decisivamente, a lo largo del tiempo, en parámetros tangibles como el precio de los locales comerciales.

Cómo crecen las ciudades: los fractales

Para comprender las ciudades es necesario entender su morfología, para lo cual enumeramos tres fuerzas decisivas que sobre ella actúan: la “aglomeración”, o ley de la gravedad (impulsada por las interacciones económicas y sociales), la “globalización” (cuyo principal combustible son los mercados y que, a su vez, es fuente del desarrollo económico urbano) y, finalmente, la “descentralización” (de carácter repulsivo, y que responde a la necesidad humana de disfrutar de “más espacio”.) Centrémonos en la primera (“aglomeración” o gravedad) y la tercera (“descentralización” o búsqueda de espacios abiertos). Se trata de dos fuerzas que actúan de igual manera en la naturaleza. Por ejemplo, en un árbol, tanto las raíces como las hojas deben estar relativamente cerca del tronco para hacer del transporte de nutrientes un mecanismo eficiente. Al mismo tiempo, ambas partes del árbol luchan por la luz y los nutrientes, alejándose de otras raíces y otras hojas.

Un mecanismo muy similar opera en la formación de las ciudades: todos queremos vivir lo más cerca posible del centro para una mayor eficiencia en nuestros desplazamientos y, al mismo tiempo, queremos disfrutar de espacio suficiente;  a ser posible, cultivar un jardín, o tener acceso a amplias zonas verdes donde poder pasear o correr. De igual manera que las calles (que no es sino la red de distribución de personas), las redes de distribución de energía o información han crecido como producto de fuerzas contrapuestas de similares características.

La formulación geométrica del asunto es que las funciones especializadas, como la distribución de nutrientes en una planta o de personas en una ciudad, dependen de la repetición de patrones regulares a diferentes escalas jerárquicas. En efecto, cuando los recursos son escasos, el espacio ha de ser rellenado de la forma más eficiente posible (un árbol tiene un espacio en el subsuelo para la expansión de sus raíces limitado por la proximidad de otros árboles). Los fractales son la manera más eficiente de rellenar el escaso espacio disponible.

Se puede pensar, alternativamente, en los fractales como la visualización geométrica en la naturaleza del darwinismo. Uno de los métodos para simular la formación de fractales es el de “agregación limitada por difusión” (DLA, “difussion-limited aggregation”). Imaginemos un asentamiento en el que sólo hay una familia viviendo. Ahora, programamos que un número X de familias se mueven aleatoriamente por las cercanías del asentamiento hasta que alguna de ellas “se topa” con la familia ya asentada, en cuyo caso se asienta en una parcela contigua. Si continuamos este proceso indefinidamente, se acaba obteniendo una estructura similar a la de la figura.

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Desde una óptica de planeamiento urbanístico, no deja de resultar fascinante que un proceso cuya naturaleza es esencialmente auto-organizada desemboque en estructuras urbanas tan sumamente eficientes. Es decir, del aparente caos surge el orden más eficiente. Sin duda, toda una inspiración para abordar los procesos de diseño urbano con un enfoque mucho más participativo. Diseño urbano, por cierto, que abordaremos desde la óptica matemática en el siguiente y último post de esta serie.

Artículo publicado bajo licencia Creative Commons de cultura libre. Algunos derechos reservados.

Autores: Belén Gracia y Daniel Sarasa

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