Matemáticas y urbanismo (I): fundamentos de la complejidad urbana

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Foto de www.hsj.co.uk

A nadie debería sorprenderle el maridaje entre matemáticas y urbanismo. Vivimos en un mundo y una época esencialmente urbanas; un proceso de urbanización que coincide con importantes retos a nivel global. Retos que van desde la búsqueda de una prosperidad económica más justa y equilibrada hasta la lucha contra el cambio climático, pasando por la mejora de la calidad de vida y la cohesión social. Para todo ello, las ciudades, hogar de más del 50% de la población mundial, son palancas de cambio imprescindibles, y no es de extrañar que hacia ellas se vuelquen los avances científicos realizados en numerosas disciplinas: sociología, economía, política, pero también biología, o astrofísica. 

Es en la relación entre urbanismo y matemáticas donde se centra el núcleo de la contribución de Michael Batty, geógrafo y profesor en el University College de Londres quien, en su último libro “The new science of cities” (La nueva ciencia de las ciudades) propone un buen número de herramientas matemáticas para comprender mejor esos fascinantes ecosistemas, en gran medida aún desconocidos, como son las aglomeraciones urbanas.

El enfoque de Batty se basa en el principio de que los lugares se crean, transforman y desaparecen como producto de las interacciones entre la gente; un enfoque complementario y totalmente compatible con el de otro urbanista destacado como es Jan Gehl, cuya aproximación al urbanismo el propio Gehl resume en “primero la vida, después los lugares y, finalmente, los edificios”. Para entender este proceso, pensemos en el ejemplo de las actividades comerciales. La actividad comercial que espontáneamente puede iniciarse en torno a un puerto, o a una plaza, puede dar lugar posteriormente al establecimiento de pequeños tenderetes o puestos callejeros que, con el tiempo, derivaran en la construcción del edificio llamado mercado. El modelado de esas interacciones (económicas en este caso), y cómo posteriormente esas interacciones cambian la morfología de la ciudad, es el objetivo principal de la batería matemática que Michael Batty presenta.

El libro que se articula en torno a tres principios básicos. En primer lugar, el principio de entender la ciudad como un conjunto de redes, para lo cual es necesario entender primero cómo funcionan los flujos (económicos, sociales, demográficos, de ideas, de tráfico…); recordamos, sólo a través de los flujos y las interacciones, según el autor, es posible entender cómo se transforma el territorio. En segundo, la noción de “escala” y su aplicación a los flujos y a las redes, pues es fundamental comprobar hasta qué punto las propiedades fundamentales del tejido urbano se modifican con su tamaño. En este punto, se presta especial atención a las matemáticas de fractales pues, como el autor señala, los procesos de organización del tejido urbano acaban desembocando en este tipo de estructuras, cuyas propiedades se mantienen esencialmente en diferentes escalas. Como tercer y último principio, el autor señala la necesidad de dotarnos de las capacidades de predicción de flujos, de manera que podamos anticipar las necesidades en servicio urbanos (por ejemplo, transporte) para una mejor gestión de nuestras ciudades.

Fundamentos matemáticos tras la complejidad urbana

Se dice que una función “escala” si:

siendo K una constante. Las únicas funciones que cumplen esta condición son las funciones potenciales y se pueden expresar de la siguiente forma:

Existen dos interesantes fenómenos que se explican mediante este tipo de funciones: el crecimiento poblacional en función del área construida y la distribución de las ciudades a nivel mundial en función de su población. Ambas funciones son potencias, en concreto:

donde P es la población que puede habitar en un área dada A, y

donde F es la frecuencia de aparición de ciudades de un tamaño poblacional P y K es un número mayor que 1. Esta última ecuación se denomina “Ley de Zipf”, la cual establece la relación entre el tamaño de un objeto (en este caso una ciudad) y su número, y rige en campos tan diferentes como la biología (distribución de la frecuencia de las especies en función del tamaño de sus individuos), la astrofísica (ídem con los cuerpos celestes) o el urbanismo.

Matrices de flujos y costes

Cualquier tipo de actividad en una ciudad puede representarse por medio de flujos. Por ejemplo, el tránsito en un cierto lugar de origen i (por ejemplo, un barrio residencial a primera hora de la mañana) es la suma de todos los viajes desde i a todos los posibles destinos (lugares de trabajo, colegios, etc). Igualmente, la actividad en un destino dado j (un polígono industrial, por ejemplo), es igual a la suma de los viajes hasta todos los posibles destinos.

Este tipo de actividad se representa convenientemente usando matrices de flujos, donde cada elemento de flujo o actividad puede representarse de la manera siguiente. Sea Tij el flujo de tráfico entre dos puntos i y j, Oi el volumen de tráfico cuyo origen es i, y Dj el volumen de tráfico cuyo destino es j. Entonces:

,  

donde I es número total de lugares origen y J es número total de lugares destino. Suponiendo, como ocurre para la mayor parte de aplicaciones, que I=J, entonces definimos N como N=I=J, por lo que la actividad total T en la ciudad puede formularse como

 

El problema de la planificación del transporte en una ciudad, consiste en la minimización del coste global C asociado a los desplazamientos, sea éste formulado en términos económicos, medioambientales o de tiempo. Dicho problema se formula, tradicionalmente como

donde cij representa el coste de trasladarnos entre los puntos i y j. Si, para plantear el problema nos centramos en los distintos lugares, se puede ver que habrá, al menos N! soluciones posibles, es decir, valores para T a un enlace ij, que cumpla las restricciones planteadas en las ecuaciones anteriores. Mientras que si nos fijamos únicamente en los flujos, hay N² flujos posibles. La diferencia es notable a nivel de complejidad computacional: en el caso del tráfico en los distritos de Londres (33), el planteamiento centrado en los lugares da 1037 posibles distribuciones de viajes, mientras que su formulación en términos de flujos nos da un número mucho más manejable de 1089 posibles flujos.

Grafos y redes

Para hacernos cargo de la importancia de la comprensión de las redes para entender, a su vez, el entramado urbano, bastaría recordar que vivimos cada vez más en una sociedad conectada, o hiperconectada. Por ello, una vez analizados los flujos entre distintos lugares, el autor avanza un paso más: introduciendo al lector a la topología de redes mediante la teoría de grafos. No es objeto de este trabajo la descripción de la teoría, sino tan solo mencionar alguna propiedad significativa de la misma para describir las ciudades, como por ejemplo, el tipo de grafo llamado “Small world” (pequeño mundo), un tipo particular definido por la propiedad de que la mayor parte de los nodos no son vecinos entre sí.

Como curiosidad, mencionar que la distancia media entre dos nodos en este tipo de grafos es

 

donde P es la población total y N el número de vecinos por nodo. Si suponemos que éste es un modelo adecuado para representar la población mundial en términos de “conocidos”, la ecuación para una población mundial P de 7.000.000.000 habitantes y un número de conocidos por habitante de unas 100 personas,arroja como resultado un número medio de conexiones d = 4,9, que correspondería al grado medio de separación entre dos habitantes cualesquiera del planeta. Este número es inferior al conocido resultado “La teoría de los 6 grados de separación” que caracteriza lo que se conoce como el problema del “pequeño mundo”.

Sin embargo, éste no puede ser considerado como un modelo válido ya que la población crece en comunidades de manera que los 100 conocidos de cada nodo tienen muchos en común con los 100 de otro nodo a 1 grado de distancia. De ahí que la distancia media, o grado medio de separación entre los nodos, sea algo superior.

El segundo tipo de grafos de interés es el de los grafos planares. Muchos de los grafos utilizados en el estudio de ciudades tienen los nodos ligados a espacios físicos, pero no así los enlaces entre ellos, como por ejemplo los enlaces de telecomunicaciones o aquellos que representan las redes sociales. Los grafos planares, sin embargo, son aquellos cuyos nodos y enlaces pueden ser embebidos en un plano y no puede haber intersecciones entre sus enlaces. Lógicamente, la red viaria de una ciudad se corresponde con este tipo de grafos y cumple la interesante propiedad de que:

siendo N el número de nodos o intersecciones, C el número de calles y M el número de manzanas (en el caso del número de manzanas, la ecuación considera que todo el terrirorio exterior a la ciudad ha de considerarse como una manzana adicional.)

Post siguiente: Matemáticas y urbanismo (II). Herramientas para comprender las ciudades.

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Autores: Belén Gracia y Daniel Sarasa

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